Enigmes mathématiques

Soit d le temps de conversation de daniel et a celui d'armand.
Le temps total ( d + a ) peut aussi s'écrire :
d/4 + 1,5a ou 2 + 2d + a/6
d'où les équations : 2a = 3d
et 5a = 6d + 12

Ce qui donne a = 12 et d = 8.

L'attente aura donc durée 20 minutes.

Il a remarqué que chaque nombre à partir du troisième est somme des deux précédents, la suite ainsi formée est une "suite de Fibonacci" :
a + b + (a+b) + (a+2b) + (2a+3b) + (3a+5b) + (5a+8b) + (8a+13b) + (13a+21b) + (21a+34b)
Quels que soient les deux premiers nombres, a et b, la somme des 10 premiers d'une telle suite est égale à 11 fois le 7éme, ici 110. Il a été facile pour ce calculateur "prodige" de multiplier 110 par 11 pour obtenir 1210.

En rajoutant un trait sur le premier + pour qu'il devienne un 4.

Cela donne donc : 545 + 5 = 550

Avec un peu de réflexion, on arrive au raisonnement suivant :
On retourne les 2 sabliers en même temps. Une fois que celui de 4 minutes s'est écoulé, on le retourne (le sablier de 7 minutes ne va plus que compter que 3 minutes).
Une fois celui-ci écoulé, on le retourne (on en est donc a 7 minutes (4+3), et le sablier de 4 minutes ne va plus compter que 1 minute).
Et pour finir, une fois que le sablier de 4 minutes est vide (il ne restait plus que une minute pour le vider), on retourne celui de 7 minutes (ou il ne reste donc plus que 7 - 6 = 1 minute).
Ainsi, on obtient : 4 + 3 + 1 + 1 = 9 minutes !


on retourne en même temps les sablier trois fois de suite, puis on retourne uniquement celui de 7min et on arrive a 9 min

Pour un échiquier 1x1 : 1 carré
Pour un échiquier 2x2 : 5 carrés (1+4)
Pour un échiquier 3x3 : 14 carrés (1+4+9)
On remarque que nous obtenons la suite 1² + 2² + 3² + 4² + ...
On a la formule : Somme des n² = n(n+1)(2n+1)/6
Donc pour n = 1999, cela donne : 1999*2000*3999/6 = 2 664 667 000 cases.

Dans l'avant dernière ligne, on ne peut pas diviser par (a - b) car puisque a = b, (a - b) = 0.

Première année : deux enfants ont l'âge X, un enfant à l'âge Y et un enfant l'âge Y. On peut avoir X + Y + Z = X donc X + Y = Z (1).

Quelques années plus tard : les âges des enfants sont : 2(X + N), Y + N et Z + N.
On ne peut avoir 2(X + N) + (Y + N)= 3(Z + N) car alors 2X + Y = 3Z ce qui contredit l'égalité (1).
On peut avoir (X + N) + (Y + N) + (Z + N) = 3(X + N) car alors Y + Z = 2X, et en reportant dans l'égalité (1), on aurait 2Y + Z = 2 donc Y = 0 ce qui est impossible.
On a donc l'égalité 2(X + N) + (Z + N) = 3(Y + N) qui est équivalente à 2X + Z = 3Y (2)
Des égalités (1) et (2) on tire Y = 2X, 2 = 4X.
La somme des âges la première année est donc X + X + 2X + 4X = 8X.

La dernière rencontre a donc lieu 1/2 * 8x = 4x années plus tard.
Dernière rencontre : Les âges des enfants sont donc : 2 * 5X, 6X et 8X.
Puisqu'un enfant a 18 ans, 6X = 18, X = 3

Les enfants auront donc deux fois 15 ans, 18 ans, 24 ans.

La Grand Mère a (2 X 15) + 18 + 24 = 72 ans.

(5 x 2 - 3) x 4 = 28

On l'allume par les deux bouts en même temps.

Un point seul n'est jamais aligné. Il faut au moins 2 points pour parler d'alignement.

C'est donc l'hypothèse de récurrence qui est fausse

Les 3 soldats ont bien payé 9 euros, ça c'est clair (ils paient 12euros et on leur en rend 3). Seulement, ce n'est pas 9 euros ET 2 euros dans la poche du garçon, mais 9 euros dont 2 euros dans la poche du garçon. Et là on retrouve bien les 9 euros - 2 euros = 7 euros dans la poche du patron qui a fait une réduction de 12 - 7 = 5euros.

Tu charges le fusil et abats une pauvre panthère qui passait par la sans rien demander à personne.
Tu te sers de la dite panthère pour tracer un cercle de rayon : la panthère.
Tu obtiens donc une circonférence de 2 PI Panthère. Puisque tu as deux pipes en terre, tu en gardes une à moins que tu n'aimes en fumer 2 d'un coup.
Tu fais avec du sable deux tas: un haut et un bas. Le haut ne t'intéresse pas mais tu gardes le tas bas.
Tu recharges le fusil, tu vises une seconde panthère qui passait... et ? tu la loupes !!!.
Tu gardes cette précieuse loupe. Grâce au tabac, tu peux bourrer ta pipe (en terre), l'allumer avec la loupe et l'aide bienfaisante du soleil, à moins que tu n'aies pris trop de temps et qu'il fasse déjà nuit.

Soit 19ab l'age de Jules (par exemple s'il est né en 1990, on a "a = 9" et "b = 0"). On a alors :
1 + 9 + a + b = 1999 - 1900 - a * 10 - b = 99 - 10a - b
<=> 11a * 89 - 2b
a et b sont des chiffres (et non des nombres !), donc 89 - 2b peut valoir 89, 87, 85, 83, 81, 79, 77, 75, 73, 71.
Le seul multiple de 11 parmi ces chiffres est 77.
Donc a = 7, et b = 6. Donc Jules est né en 1976.

Jules a donc 23ans.

Il en faut 6. Qui a dit que le système devait se limiter a deux dimensions ?

La réponse est "Un ours blanc". Pour le prouver, deux solutions sont envisageables :
- L'ours est exactement sur le pôle nord. Ainsi, en se déplaçant, le pôle nord est toujours au nord, et on peut toujours tirer sur l'ours.
- L'ours n'est pas trop loin du pôle nord, mais le chasseur est sur une latitude de circonférence 100 mètres. Ainsi, en marchant 100 mètres a l'est, le chasseur revient a sa position initiale.

Voici tous les produits d'age donnant 36 (avec la somme des nombres a coté entre parenthèse)
1 x 1 x 36 (38)
1 x 2 x 18 (21)
1 x 3 x 12 (16)
1 x 4 x 9 (14)
1 x 6 x 6 (13)
2 x 2 x 9 (13)
2 x 3 x 6 (11)
3 x 3 x 4 (10)
Sachant que l'homme ne peut pas trouver la réponse a l'aide de tout cela, c'est que le numéro de la maison d'en face est 13 (car il y'a deux réponses possible)
Puis en sachant que l'aînée est blonde (cela veut dire qu'il y'a une seule ainée, est non deux comme dans le produit 1 x 6 x 6) on en déduit que les ages des filles sont :
2 ans, 2 ans et 9 ans.

Pour trouver la réponse, il faut en fait prononcer a "haute voie" les termes précédents. Par exemple, pour 1, il y'a un 1. On écrit donc 11. Pour 1211, il y'a un 1, un 2 et deux 1. Ce qui donne bien 111221.
La suite est donc la suivante :
1 - 11 - 21 - 1211 - 111221 - 312211 - 13112221 - ...

(Le titre de l'énigme donne un indice...)

On a 1+1 = 2. Or 2 en binaire s'écrit 10. On a donc 1+1(en base 10) = 10(en base 2).

Lors de la première course, la premier coureur (A) courait a une vitesse moyenne de 100/t, et le deuxième (B) a une vitesse de 90/t (ou t est la durée de la course).
Pour la deuxième course, A va parcourir 100m + x (ou x va être le nombre de mètres de retard qu'il aura), et B 100m. Pour qu'ils arrivent en même temps, on doit donc avoir :
((100+x)*t)/100 = (100*t)/90
Donc : (100+x)*90 = 100*100
9000+90x = 10 000
90x = 1000
x = 1000/90 = 100/9 = 11.1111...
Donc le premier coureur va devoir partir avec 11.1111 mètres de retard.

En nommant A, B, C et D le nombre de kilos de chacun des légumes, on obtient les équations suivante :
6.15*A + 7.60*B + 4.40*C + 9.50*D = 85.55
A + B + C + D = 13

En résolvant, on obtient le résultat suivant :
Carottes : 3 kilos.
Pomme de terre : 5 kilos.
Navets : 1 kilo.
Poireaux : 4 kilos.

On met la chèvre dans le bateau, et on la fait traverser.
On revient, et on prends le chou, qu'on emmène de l'autre coté.
On reprend alors la chèvre qu'on ramène au point initial.
On la dépose et on prend alors le loup que l'on emmène de l'autre coté.
Etant donné que le loup ne mange pas de chou, on les laisse ensemble d'un coté de la berge, ils siroteront une grenadine ensemble.
Pendant ce temps la, on revient chercher la chèvre qu'on ramène avec le loup et le chou.

Un A. En effet, les lettres représentés au dessus sont les initiales des mois de l'année (Janvier, Février... Juillet, Août)

1 = (35/70) + (148/296)

Trois.

C'est une simple division euclidienne : 11/3 = 3*3 + 2.

A = 1, B = 9 et C = 8

A = 4
B = 2
C = 3

On a pas besoin de connaître la vitesse du courant puisque le bateau remonte la rivière à 4,5 km/h, par rapport à l'eau, en 6 minutes, le bateau est donc éloigné du chapeau :
(4500 * 6) / 60 = 450 mètres
Après le demi-tour, il faudra à nouveau parcourir 450 pour rattraper le chapeau, donc 6 min.

Monsieur a donc été privé de son chapeau 12 Min.

On voyant que le résultat est compris entre 3 et 3euros80, on élimine facilement des pièces qu'on ne pourra pas utiliser (par exemple la le billet de 5€, ou 4 fois sur les 5 la pièce de 5centimes).
On cherche ensuite toutes les possibilités avec chacune de ces pièces.

On constate alors que les amis ne peuvent pas se payer une tarte aux fraises en donnant une pièce chacun.

On sépare la solution en deux parties :
1ère partie : quelle est le nombre que l'on va être en train de répéter aux alentours du 2001 chiffres ?
Les nombres de 1 à 9 sont représentés par un seul chiffre. Pour écrire la suite jusqu'au nombre 9, il faut 1 + 2 + ... + 9 = 45 chiffres.
Les nombres de 10 à 99 sont représentés par 2 chiffres. Pour écrire la séquence correspondant à chaque nombre n, il faut 2*n chiffres. Pour écrire la suite du nombre 10 au nombre n , il faut N chiffres, avec :
N = 2 * somme (de 10 à n) = 2*[somme (de 1 à n) - somme (de 1 à 9)] = 2*[ n*(n+1)/2 -45] = n*(n+1) -90
Ainsi pour écrire la suite de 1 à n, il faut n*(n+1) - 90 + 45 = n*(n+1) - 45 chiffres.
On résout alors le polynôme suivant :
2 * n * ((n+1)/2) = n² + n - 45 = 2001
<=> n² + n - 2046 = 0
Etant donné que l'on cherche uniquement un nombre positif, on trouve = 44,73.
Pour écrire la suite jusqu'au nombre 44 inclus, il faut : 44*45 - 45 = 1935 chiffres
Pour écrire la suite jusqu'au nombre 45 inclus, il faut : 45*46 - 45 = 2025 chiffres
Le 2001 ème est donc dans la séquence correspondant au nombre 45.

2ème partie : Le 2001ème chiffre est-il un 4 ou un 5 ?
Le 45ème chiffre est un 9, le 46ème est un 1, le 47ème est un 0. Ainsi dans la séquence "45" (du 1936ème au 2025ème) les chiffres de rang pair sont des 4, ceux de rang impair des 5.

En conclusion, le 2001ème chiffre est un 5.

C'est l'explorateur numéro 3.
En effet, voyant que le numero 4 ne dit rien, le numéro 3 comprend que le numéro 4 ne voit ni deux rouges, ni deux noirs devant lui, c'est donc qu'il voit un rouge et un noir. Le numero 3 n'a donc plus qu'à dire la couleur inverse de celui qui est devant lui (le numéro 2) et crie alors "HOUNGA BOUNGHA !!!"